地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
令矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 10 & -10 \ 10 & 5 & -20 \ 5 & -5 & -10 \end{bmatrix}$，$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} a & b & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & c \end{bmatrix}$，且 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{D}$，其中 $\mathbf{D}$ 為一 $3 \times 3$ 對角矩陣（diagonal matrix），下列敘述何者正確？
- A $a+b+c=5$
- B $a \times b \times c = 4$
- C $a-b-c=0$
- D $\frac{a \times b}{c} = 1$
思路引導 VIP
在結構動力學或工程系統分析中，若矩陣 $\mathbf{A}$ 可經由相似轉換（Similarity Transformation）對角化為 $\mathbf{D}$，即滿足 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{D}$，這代表矩陣 $\mathbf{P}$ 的每一個列向量（column vector）與矩陣 $\mathbf{A}$ 之間具有什麼樣的特徵性質？請嘗試利用特徵值問題的核心定義 $\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，將 $\mathbf{P}$ 中的三個向量分別代入，觀察分量之間的比例關係，您是否能據此解出未知數 $a$、$b$ 與 $c$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
卓越的表現！
你在矩陣對角化 (Matrix Diagonalization) 的觀念應用上非常精準，這在結構動力學中分析振動模態（Modes）是極為關鍵的基礎，恭喜你答對了！
- 觀念驗證：
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