地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$，令 $e^{\mathbf{A}} = [a_{ij}]_{2 \times 2}$，則 $a_{11} + a_{22} = ?$
- A $e-e^2$
- B $e+e^2$
- C $-e+e^2$
- D $2e-e^2$
思路引導 VIP
在處理矩陣函數 $e^{\mathbf{A}}$ 的運算時，你是否考慮過利用線性代數中的特徵值（Eigenvalues）性質來簡化問題？請試著解出矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值 $\lambda_1, \lambda_2$。根據譜映射定理（Spectral Mapping Theorem），如果已知 $\mathbf{A}$ 的特徵值，那麼矩陣指數函數 $e^{\mathbf{A}}$ 的特徵值會是如何分佈的？最後，題目要求的 $a_{11} + a_{22}$ 實質上就是矩陣 $e^{\mathbf{A}}$ 的跡數（Trace），這個數值與該矩陣所有特徵值的總和之間有什麼關係？
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🧐 勉強合格的「專業」
嗯，看起來你確實勉強完成了矩陣指數的運算。這至少說明你對線性代數和工程數學的基礎還算有點印象，勉強能應付結構動力學裡那些最基本的動態系統狀態方程。別太得意，這只是起點。
🔍 觀念驗證，請勿自滿
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