高考申論題
108年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 二 題
二、假設冷卻水槽的進水速率為 20 m³/min，出水速率為 10 m³/min。令 T(t) 為水槽內水在時間 t 的溫度，我們假設 T(t) 的變化率是 T 的平方根除以水槽在時間 t 的水的體積。假設在時間 0 的時候水溫是 25 度，水的體積為 400 m³，請求出在 t = 10 min 時水的溫度。（20 分）
📝 此題為申論題
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面對此類混合槽問題，應分兩步處理：首先根據進出水速率之差，積分求出水槽體積函數 V(t)；接著依據題意敘述，將文字轉換為可分離變數的一階常微分方程式 (ODE)，代入初始條件求解即可。
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【解題思路】先建立水體積隨時間變化的函數 $V(t)$，再依題意列出可分離變數之一階常微分方程式，最後代入初始條件求解特解。 【詳解】 已知：
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一階微分方程建模應用
💡 利用分離變數法求解物理模型之動態變化特解
🔗 一階 ODE 應用題解題流程
- 1 建模階段 — 依題意寫出 $V(t)$ 與 $dT/dt$ 的數學式
- 2 變數分離 — 將變數 $T$ 與 $t$ 各歸等號一側
- 3 積分求通解 — 兩邊積分並加入積分常數 $C$
- 4 求出特解 — 代入初始條件 $t=0, T=T_0$ 求得 $C$
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🔄 延伸學習：延伸學習：當進出水率不同時，體積函數 $V(t)$ 會影響分母，需注意積分形式。
