高考申論題
108年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
五、請解出下列函數以z0為中心的所有的泰勒級數和羅蘭級數並決定其收斂半徑(Please find all Taylor and Laurent series with center zo of the following functions and determine their associated radius of convergence)。(20分)
z⁸ / (1-z⁴),
zo = 0
z⁸ / (1-z⁴),
zo = 0
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察給定函數的分母找出奇異點 z = ±1, ±i，得知在 |z|=1 處有不可解析的點。以此為界，將複數平面分為 |z|<1 與 |z|>1 兩個區域，並運用等比級數公式 (幾何級數) 1/(1-w) = Σwⁿ 分別對應推導出泰勒級數與羅蘭級數展開。
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【解題思路】找出函數的奇異點決定收斂圓界線，再利用幾何級數（等比級數）公式 $\frac{1}{1-w} = \sum w^n$ 分區段進行泰勒級數與羅蘭級數的展開。 【詳解】 已知：
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複變函數級數展開
💡 依奇異點位置劃分區域，利用幾何級數公式進行泰勒與羅蘭展開。
| 比較維度 | 泰勒級數 (Taylor Series) | VS | 羅蘭級數 (Laurent Series) |
|---|---|---|---|
| 收斂區域 | 中心 z0 周圍的圓盤區域 | — | 包含奇異點的環形區域 |
| 冪次特徵 | 僅含非負整數冪次 (n≥0) | — | 包含正冪次與負冪次項 |
| 函數解析性 | 在收斂圓盤內處處解析 | — | 在環形區域內解析，中心不解析 |
💬泰勒級數是羅蘭級數在「不含負冪次項（主要部）」時的特殊特例。
