第 一 題

看到計算黑洞半徑，應立刻聯想史瓦茲半徑公式 R_s = 2GM/c^2。由公式可知半徑與質量成「正比」，故無須代入萬有引力常數與光速，直接利用題目提供的「1 太陽質量對應 3 公里」作為基準，以比例法進行推導即可快速得出答案。

看到求黑洞平均密度，應立刻想到基本物理公式 $\rho = M/V$ 搭配球體體積公式。解題時可直接代入前一題求得的半徑與已知質量進行計算，注意單位需統一（如 CGS 制）；若想展現宇宙學素養，可利用「黑洞史瓦茲半徑與質量成正比，故平均密度與質量平方成反比（$\rho \propto 1/M^2$）」的性質進行比例推導，能更快速且精準得解。

看到本題應立即聯想「星系演化的層疊模型」與「星系團的環境效應」。先從巨橢圓星系的形成機制（星系合併）切入，再利用星系團的高密度、強引力位能環境（如衝壓剝離、動力學摩擦）來解釋為何此類環境特別容易孕育並保留缺乏氣體的巨橢圓星系。

看到「紅移大於 7」，首先須聯想到宇宙膨脹造成的波長拉長效應，公式為 λ_obs = λ_rest(1+z)。接著結合超大質量黑洞（類星體/AGN）的多波段輻射特徵（吸積盤的光學/紫外、日冕的X射線、噴流的電波），推導出對應的現代觀測波段與儀器。