第 一 題

看到宇宙微波背景輻射溫度與紅移的關係，應立刻聯想到光子波長會隨宇宙尺度因子變大而拉長，而溫度與波長成反比。直接使用宇宙演化中的溫度-紅移公式 T(z) = T0(1+z) 即可迅速求解。

這是一道典型的宇宙演化階段計算題，考生應首先聯想到輻射密度與物質密度隨宇宙尺度因子（或紅移）演化的不同冪次關係。利用輻射密度正比於 (1+z)^4 而物質密度正比於 (1+z)^3 的物理定律，建立比例方程式即可求出兩者交會時的紅移值。

看到此題，首先應辨識給定條件是用於計算「輻射能量與等效質量密度」。接著須敏銳察覺單憑輻射參數無法直接得出「可見物質密度」，答題時應先算出輻射密度，再引入「重子-光子數量比」來推估可見物質密度，以展現嚴謹的宇宙學邏輯並涵蓋考題可能的誤植。

本題核心在於計算宇宙的「臨界密度（Critical Density）」，進而求取密度參數（Density Parameter）。解題時需先將哈伯常數作單位換算（Mpc 轉為 cm，km 轉為 cm）以統一為 cgs 制，代入臨界密度公式 ρ_c = 3H₀² / (8πG) 求出數值。最後將前小題求得的可見物質密度除以臨界密度，即可得到所求比率。