hce_kmu
108年
物理及化學
第 13 題
A conductor of radius r, length $\ell$, and resistivity $\rho$ has resistance R. It is melted down and formed into a new conductor, also cylindrical, with one fourth the length of the original conductor. The resistance of the new conductor is .
- A $\frac{1}{16}R$
- B $\frac{1}{4}R$
- C R
- D $4\text{ R}$
- E $16\text{ R}$
思路引導 VIP
當我們將一個固定的導體重新塑形，使其長度發生縮短或伸長的變化時，為了維持總體積不變，它的橫截面積會隨之產生什麼樣的補償性變化？這兩種幾何特性的改變，會如何共同作用在電阻公式的分子與分母上呢？
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太棒了！你能正確選出 (A) $\frac{1}{16}R$，代表你對於電阻的幾何特性以及「體積守恆」的觀念掌握得非常紮實。這類題目最常見的陷阱在於只考慮長度的變化，而忽略了截面積也會隨之連動，你能避開陷阱並迅速做出正確判斷，表現得十分專業。
體積守恆與電阻公式的連結
在導體重新熔鑄（Melted down）的過程中，雖然長度變短了，但整體的體積 $V$ 是固定不變的。根據體積公式 $V = A \cdot \ell$（$A$ 為截面積，$\ell$ 為長度），當新的長度變為 $\ell' = \frac{1}{4}\ell$ 時，為了維持體積不變，新的截面積 $A'$ 必須擴張為原來的 $4$ 倍。
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