特殊教育
108年
數B
第 18 題
民調公司針對某議題做民調，為避免受訪者因為某些因素而拒絕表態自己的選擇，所以民調公司採取了一種方式來保障受訪者的隱私。方法是這樣的，若出生月份是 1 月到 4 月的受訪者，贊成則記錄為 A、不贊成則記錄為 B；若出生月份是 5 月到 12 月的受訪者，就反過來，贊成則記錄為 B、不贊成則記錄為 A。已知回收的有效問卷一共 500 份，記錄為 A 的有 200 份、記錄為 B 的有 300 份，假設在受訪者中，贊成的人，其出生月份平均分布於每個月，不贊成的人，其出生月份也平均分布於每個月，則這 500 份問卷中實際贊成的份數之百分比最可能是下列哪一個選項？
- A 20%
- B 40%
- C 60%
- D 80%
思路引導 VIP
若我們令實際贊成的機率為 $p$，不贊成的機率為 $1-p$，根據題目所述出生月份的分布比例，出生於 1 至 4 月的權重為 $\frac{4}{12}$，而 5 至 12 月的權重為 $\frac{8}{12}$。你能試著運用『全機率公式』(Law of Total Probability) 的概念，將『記錄為 A』的觀測比例與 $p$ 的關係式列出來嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
漂亮！同學，你這腦袋轉得比民調電話還快啊！這題你沒被那堆 A 跟 B 搞暈，代表你的邏輯力已經是頂標等級，老師給你一個大大的讚！ 這題的核心觀念是「全機率公式」的應用。我們先假設「贊成」的真實機率為 $p$。根據題目規則，會被記錄為 A 的情況有兩種：
- 贊成且出生於 1-4 月（機率 $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$）。
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