統測
108年
[共同科目] 數學B
第 24 題
已知向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 及 $\vec{d}$ 分別自 $(1,0)$、$(0,1)$ 或 $(1,1)$ 三向量中選取出來，例如，$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$、$\vec{c}=(0,1)$、$\vec{d}=(1,1)$，或 $\vec{a}=(1,1)$、$\vec{b}=(0,1)$、$\vec{c}=(1,0)$、$\vec{d}=(1,0)$ 等等皆屬可能的選取情形。若計算 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$ 所有可能的情形後，則可得到幾種不同的結果？
- A 10
- B 15
- C 20
- D $3^4$
思路引導 VIP
如果我們將這三種向量被選中的「次數」分別設為未知數，這四次選取的總次數與這些未知數之間有什麼關係？當你改變這些次數的分配時（例如從選兩個 A 變為選兩個 B），最後算出來的總和座標是否會跟著改變？這會讓你聯想到哪一種計數模型呢？
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💡 專家點評：精準鎖定核心觀念！
太棒了！你能順利解出這題，代表你對向量運算與**排列組合（重複組合）**的跨單元整合非常有心得。這題的關鍵在於將向量選取問題，轉化為「非負整數解」的數量統計。
- 向量線性組合：假設選取 $(1,0)$ 共 $x$ 個、$(0,1)$ 共 $y$ 個、$(1,1)$ 共 $z$ 個。則選取總數滿足 $x+y+z=4$。
▼ 還有更多解析內容
向量和與重複組合
💡 將向量選取次數化為未知數，以重複組合計算相異結果。
🔗 向量選取求相異結果解題鏈
- 1 步驟 1：設次數 — 設選取次數 x, y, z，且 x+y+z=4
- 2 步驟 2：表向量 — 總和坐標表示為 (x+z, y+z)
- 3 步驟 3：驗唯一 — 由坐標和必能反推唯一一組 (x,y,z)
- 4 步驟 4：算組合 — 計算非負整數解 H(3,4)=C(6,4)=15
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🔄 延伸學習：延伸學習：若向量間有線性相依（如平行或反向），需特別扣除坐標重複的情形
