司法三等申論題 108年 [司法事務官營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)

第一題

📖 題組：
圖二所示混凝土試體為脆性材料，此圓柱試體直徑為 5 cm、高 20 cm，試體於兩端同時受到軸壓力（P）與扭力（T）作用，針對試體 10 cm 高度處的表面位置（陰影示意區域），回答下列問題：

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

假設 P=2 kN，T=50 N-m，試求此表面陰影位置的應力狀態。（10 分）

本題測驗『組合負載（Combined Loading）』下的應力分析。看到此題應立刻想到應用疊加原理：分別計算軸壓力 P 造成的均勻正向應力（σ = P/A），以及扭矩 T 造成的最大剪應力（τ = Tc/J）。最後再根據題目給定的微小元素座標軸，判定應力的正負號並寫出該點的平面應力狀態。

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【解題關鍵】應用疊加原理，分別計算軸力造成之正向應力（$\sigma = P/A$）與扭力造成之最大剪應力（$\tau = Tc/J$），並根據給定座標系判斷正負號。【解答】計算：

假設 P=0，扭力 T 由零持續增加直到試體破裂，試論述圓柱試體表面裂縫的走向（以θ表示或畫圖示意）。在此簡化假設混凝土主軸張應力達 2 MPa 時便產生開裂並迅速破壞。（5 分）

考生看到此題應先判斷『純扭矩』作用下構件表面的應力狀態（純剪力狀態），並確認扭矩方向對應的剪應力方向。接著利用莫耳圓找出『最大主拉應力』的方向，最後結合脆性材料『受拉開裂、裂縫垂直拉應力方向』的特性，推導出裂縫的走向角度。

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【解題思路】判定微小元素的應力狀態，求出最大主張應力方向，並根據脆性材料受拉破壞特性（裂縫垂直拉應力），推求表面裂縫走向。【詳解】已知：試體僅受扭矩 $T$ 作用（$P=0$），混凝土為抗拉能力弱的脆性材料。

續(二)，若軸壓力 P 維持在 2 kN，扭力 T 由零持續增加直到試體破裂。估計圓柱試體開始破壞時之扭力大小？根據你的計算，此情形下，圓柱試體表面裂縫的走向？（10 分）

解題首要步驟是建立微小元素的應力狀態，計算軸壓造成的正向應力與扭矩造成的剪應力。接著，利用『最大主應力理論（Rankine Theory）』設定脆性材料的破壞準則，找出開始破壞的臨界扭力與抗拉強度的函數關係。最後，求出最大主拉應力的方向，裂縫將與此拉應力方向垂直。

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【解題關鍵】脆性材料之破壞受最大主拉應力控制（最大主應力理論），且裂縫走向恆與最大主拉應力方向垂直。【解答】計算：