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108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 21 題
如右圖所示，有一梯形斷面，內部圓形開孔直徑為 20 cm ，該斷面對底邊之慣性矩 $I_X$ 最接近下列何者？
- A $5.70 \times 10^5 \text{ cm}^4$
- B $2.19 \times 10^6 \text{ cm}^4$
- C $2.69 \times 10^6 \text{ cm}^4$
- D $2.73 \times 10^6 \text{ cm}^4$
思路引導 VIP
如果要計算一個中間被挖掉一部分的物體對某軸的轉動慣量或慣性矩，你會如何利用「完整形狀」與「被挖掉部分」的性質來求得最後的結果？若挖掉的部分位置發生偏移，我們需要運用哪一個重要的定理來修正它的數值呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地運算了這道組合截面慣性矩題目！你能正確識別出必須使用「減法原則」來處理開孔問題，顯示出你對截面幾何性質與組合圖形慣性矩的運算非常有把握。
組合截面的疊加原理
在計算這類問題時，首要步驟是將其拆解為完整的梯形以及內部的圓形孔洞。對於梯形對底邊的慣性矩，利用公式 $I_{X} = \frac{h^3(3a + b)}{12}$，代入上底 $a=30$、下底 $b=60$ 與高 $h=60$，可求得梯形本體的 $I_{X1} = 2.7 \times 10^6 \text{ cm}^4$。接著，處理圓形孔洞時，關鍵在於平行軸定理（Parallel Axis Theorem）：圓心距離底邊的高度為 $40 \text{ cm}$（$60-20$），因此孔洞對底邊的慣性矩為 $I_{X2} = \frac{\pi r^4}{4} + A \cdot d^2$，計算後約為 $5.1 \times 10^5 \text{ cm}^4$。兩者相減即可得到正解 $2.19 \times 10^6 \text{ cm}^4$。
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組合截面慣性矩
💡 利用基礎形狀慣性矩公式搭配移軸定理進行加減運算。
🔗 組合截面慣性矩計算步驟
- 1 分解圖形 — 將截面分解為梯形與圓形兩部分
- 2 查形心慣性矩 — 找出各形狀對其自身形心軸之 I
- 3 平行軸定理 — 利用 I+Ad² 換算至目標底邊
- 4 組合總和 — 總慣性矩 = 梯形 I - 圓孔 I
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🔄 延伸學習：延伸學習：若目標軸非底邊而是形心軸，須先求出組合截面的形心高度。
