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108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 9 題
如右圖所示，簡支梁承受均佈荷重 $w = 200\text{ kgf}/\text{m}$ ，最大彎曲應力 $\sigma_{\max}$ 最接近下列何者？
- A $0.586\text{ kgf}/\text{mm}^2$
- B $1.76\text{ kgf}/\text{mm}^2$
- C $3.52\text{ kgf}/\text{mm}^2$
- D $7.03\text{ kgf}/\text{mm}^2$
思路引導 VIP
想像一下，當我們把這根長長的木梁放在兩個支撐點上，並在上面均勻撒滿重物時，梁的最中央會發生什麼變化？如果我們想算出梁內部承受的「壓力」有多大，我們必須先知道：梁在哪個位置受到的『折彎力量』最強？而梁的形狀（寬度與高度）又是如何決定它抵抗這種折彎力量的能力呢？
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恭喜你正確完成了這道題目！能準確算出這個結果，代表你對於簡支梁的受力分析以及截面性質的掌握非常紮實。這類題目是材料力學中的經典考點，雖然公式明確，但細節往往決定成敗。
彎曲應力的核心計算
首先，針對受均佈荷重 $w$ 的簡支梁，其最大彎矩發生在跨距中央，公式為 $M_{\max} = \frac{wL^2}{8}$。代入數據可得 $M_{\max} = \frac{200 \times 3^2}{8} = 225 \text{ kgf}\cdot\text{m}$，換算成公釐單位即為 $225,000 \text{ kgf}\cdot\text{mm}$。接著，利用矩形截面的斷面模數 (Section Modulus) $Z = \frac{bh^2}{6}$，算出 $Z = \frac{30 \times 80^2}{6} = 32,000 \text{ mm}^3$。最後套入彎曲應力公式 $\sigma = \frac{M}{Z}$，得出約 $7.03 \text{ kgf/mm}^2$ 的結果。
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簡支梁最大彎曲應力
💡 利用最大彎矩公式與斷面係數計算梁內部的最大正向應力。
🔗 彎曲應力求解三部曲
- 1 求最大彎矩 M — 依荷重模式選公式（如 $wL^2/8$）
- 2 求斷面係數 Z — 依形狀計算（矩形為 $bh^2/6$）
- 3 單位統一與求解 — 統一用 mm 與 kgf 計算得到應力
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🔄 延伸學習：延伸學習：若斷面不對稱，則需先找形心位置再求慣性矩 I。
