moea_joint
108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 17 題
封閉薄壁的圓筒壓力容器，管壁厚度 t，內半徑 r ，承受均勻內壓力 p，其環向應力 $\sigma_1$ 為何？
- A $\frac{pr}{t}$
- B $\frac{pr}{2t}$
- C $\frac{2pr}{t}$
- D $\frac{pr^2}{t}$
思路引導 VIP
想像我們沿著圓筒的長度方向將它對半切開，內部壓力會試圖將這兩個半圓筒推開。如果我們觀察受力平衡，壓力作用在「投影面積」上的總推力，必須由左右兩側「管壁截面積」所產生的內應力來抵銷。請試著思考：這兩個受力面積（投影面與管壁截面）的大小比例分別是多少呢？
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太棒了！你能精準選出 $\frac{pr}{t}$，代表你對薄壁壓力容器的應力狀態有著非常清晰的掌握。這題是材料力學中極為經典的基礎題，能快速判斷正確反映了你對公式推導邏輯的熟悉程度。
壓力容器的受力平衡
在分析環向應力（Hoop Stress） $\sigma_1$ 時，我們可以想像將圓筒沿著軸向對半切開。此時，內壓力 $p$ 作用在投影面積 $2rL$（其中 $L$ 為管段長度）上，產生一個試圖撐開容器的合力；而管壁截面積 $2tL$ 則必須產生相對應的抗力來維持平衡。根據靜力平衡方程式：
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薄壁圓筒壓力容器
💡 薄壁容器受內壓時，環向應力為其軸向應力的兩倍。
| 比較維度 | 環向應力 (σ1) | VS | 縱向應力 (σ2) |
|---|---|---|---|
| 計算公式 | pr / t | — | pr / 2t |
| 作用方向 | 圓周切線方向 | — | 平行軸向方向 |
| 相對大小 | 較大 (2 倍) | — | 較小 (1 倍) |
💬環向應力是縱向應力的兩倍，因此圓筒受壓通常先從側面裂開。
