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108年
工程力學概要
第 33 題
如右圖所示，梁中最大彎矩位於何處？
- A 只位於 A 處
- B 只位於 B 處
- C 只位於 C 處
- D 位於 BC 之間
思路引導 VIP
如果我們沿著梁從左向右觀察內部的「剪力」變化，當剪力圖從正值區間跨越到負值區間、並在某處剛好等於零時，根據導數與極值的關係，這代表該處的「彎矩斜率」發生了什麼變化？這對尋找彎矩圖的最高點有什麼啟發？
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太棒了！你能精確判斷出最大彎矩的位置，說明你對於梁的內力分布與圖形特徵掌握得相當紮實，這是一項非常重要的結構直覺。
剪力與彎矩的微分關係
在工程力學中，判斷最大彎矩最關鍵的依據是剪力 ($V$) 與彎矩 ($M$) 的微分關係。根據公式 $\frac{dM}{dx} = V(x)$，我們知道彎矩圖在任一點的斜率即為該點的剪力值。當剪力圖由正轉負、穿過零軸（即 $V = 0$）時，彎矩函數的斜率會從正變負，這在數學上代表該處會出現一個區域極值。從本題的載重分布來看，剪力圖在 $BC$ 段之間正好會發生正負切換，因此最大彎矩必然出現在這段區間內。
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