第 一 題

看到求「實軸上之根軌跡」，應立刻想到只須找開迴路轉移函數的「實數」極點與零點。利用根軌跡的基本法則：實軸上某一點的右側，若實數極點與實數零點的總個數為奇數，則該區域即為根軌跡的一部分（假設 K > 0）。複數極/零點因共軛成對，不影響實軸上的角度條件。

判斷根軌跡角度問題，首要步驟是找出開迴路轉移函數的所有極點與零點，並確認系統操作在 K>0 的條件下（向量角總和為180°）。接著利用相角條件公式：「離開角 = 180° + 零點角和 - 其他極點角和」（針對複數極點）與「到達角 = 180° - 其他零點角和 + 極點角和」（針對複數零點）逐一代入幾何關係求解即可。

本題要求繪製包含 K 正負值的完整根軌跡。解題應先找出開迴路極點與零點，因極點與零點數量相等 (n=m=3)，故無漸近線。接著利用特徵方程式與羅斯準則(Routh-Hurwitz)判定虛軸交點，並分別計算 K>0 (180度軌跡) 與 K<0 (0度軌跡) 的實軸分佈、複數點的出發/到達角，最後留意 K=-1 時特徵方程式降階所導致的無窮遠根現象即可精確作圖。

解決此題的關鍵是建立閉迴路特徵方程式 1+KG(s)H(s)=0，並展開為標準多項式。接著建構羅斯表（Routh Table），利用第一行元素不能變號的原則求解。特別注意本題 s^1 列會算出常數負值，因此第一行所有元素皆須為負號，從而取交集解出 K 的範圍。