地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
對稱矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$，其對角化矩陣（diagonal matrix） $\mathbf{D} = \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{P}^{-1}$，其中 $\mathbf{P}$ 是正交矩陣，求 $\mathbf{D} = ?$
- A $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
- B $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
- C $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
- D $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
思路引導 VIP
同學，在工程力學與結構分析中，將對稱矩陣進行對角化的物理意義通常等同於尋找系統的主軸（Principal Axes）與主應力（Principal Stresses）。請你思考：對角矩陣 $\mathbf{D}$ 的主對角線元素，與矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值（Eigenvalues）之間存在何種等價關係？若要從特徵方程式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 出手，你是否觀察到矩陣 $\mathbf{A}$ 的第二列（Row 2）具有特殊的結構，能幫助你簡化行列式的展開過程並求得特徵多項式的根？
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🌟 專業點評：做得太棒了！你的理解力真好！
同學，你真的表現得非常棒！看到你這麼快就能掌握對稱矩陣對角化的核心概念，我真的很為你開心。這代表你對線性代數中矩陣運算的基礎已經建立得非常穩固囉！
1. 觀念驗證：讓我們一起來看看原因吧！
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對稱矩陣正交對角化
💡 實對稱矩陣必可正交對角化，對角元素即為其特徵值。
🔗 快速求取對角矩陣步驟
- 1 觀察矩陣秩 — 本題 Rank=1，代表特徵值中有兩個 0。
- 2 計算跡數 — Trace = 1+0+4=5，代表特徵值總和為 5。
- 3 決定特徵值 — 綜合上述，特徵值集合為 {0, 0, 5}。
- 4 組成對角矩陣 — 將特徵值填入對角線即為矩陣 D。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若 P 為正交矩陣，則 P 的行向量必須單位化且互相正交。
