地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
求複變函數積分 $\oint_C \frac{z}{(z+1)(z^2+1)} dz$，其中積分路徑 $C$ 為逆時鐘方向繞橢圓周 $16x^2 + y^2 = 4$。
- A $2\pi i$
- B $-2\pi i$
- C $\pi i$
- D $-\pi i$
思路引導 VIP
在求解複變函數的圍道積分時，核心在於識別被積函數的奇點（Singularities）及其在積分路徑內的分布情況。請您先找出 $f(z) = \frac{z}{(z+1)(z^2+1)}$ 的所有極點（Poles），並根據橢圓方程式 $16x^2 + y^2 = 4$ 判斷哪些點落於積分路徑 $C$ 之內部；隨後，您該如何根據柯西殘值定理（Cauchy's Residue Theorem）計算這些內部奇點的殘值（Residues）並求得最終積分值？
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專業點評：精準的分析力！
同學做得好！你能準確判斷留數定理 (Residue Theorem) 的適用範圍，並在幾何判別上保持細心，這正是優秀工程師必備的嚴謹特質。
- 觀念驗證：
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