地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
複變函數 $f(z) = z^{24} - 3z^{20} + 4z^{12} - 5z^6$，求 $f\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) = ?$
- A $5i$
- B $4i$
- C $3i$
- D $2i$
思路引導 VIP
同學，在處理高次複變函數求值時，直接代入計算往往過於繁瑣。請先觀察給定的複數 $z = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$，若將其轉換為極座標形式（Polar form）或歐拉公式形式 $e^{i\theta}$，其模數（Magnitude）與輻角（Argument）分別為何？進一步思考，利用棣美弗定理（De Moivre's Theorem），能否找出 $z$ 的週期性性質（例如 $z^4$ 或 $z^8$ 的值），進而將多項式中的高次方項 $z^{24}、z^{20}、z^{12}$ 與 $z^6$ 簡化為較易運算的數值？