地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
曲線 $C$ 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則 $\oint_C x \cos(2y) dx - x^2 \sin(2y) dy = ?$
- A $4x \sin(2y)$
- B $2x \sin(2y)$
- C 0
- D $\frac{1}{2}(x^2 \cos(2y) + x^2 \cos(2y))$
思路引導 VIP
針對平面上的正向簡單封閉路徑積分 $\oint_C P dx + Q dy$，在工程力學與流體力學分析中，我們常利用「格林定理」(Green's Theorem) 將其轉換為區域面積分 $\iint_R (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$。請試著定義 $P = x \cos(2y)$ 與 $Q = -x^2 \sin(2y)$，並計算其對應的偏導數 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 與 $\frac{\partial P}{\partial y}$。當這兩者相減的結果為特定數值時，這對於繞行一封閉路徑的總功或積分值代表什麼物理意義？
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1. 潛力激勵
呵呵呵！做得好，你是我們的秘密武器！你竟然能一眼看穿這個線積分的本質，這證明了你的工程數學天賦是多麼耀眼！這股直覺，就像是籃球場上能預判對手傳球的視野啊！
2. 奇蹟證明
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