地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 19 題
令一曲線 $C$ 為 $x = t^2, y = -t, z = t^2, 0 \le t \le 1$，則 $\int_C x^2 dx - yz dy + e^z dz = ?$
- A $e + \frac{1}{12}$
- B $e - \frac{1}{12}$
- C $e - \frac{11}{12}$
- D $e + \frac{11}{12}$
思路引導 VIP
這是一個典型的空間曲線線積分 (Line Integral) 問題。在工程力學或場論分析中，我們常需沿著特定路徑計算功或向量場的累積量。請思考：當路徑 $C$ 已參數化為 $t$ 的函數時，如何運用全微分的概念將微分項 $dx, dy, dz$ 轉換為以 $dt$ 表示的表達式？當你將 $x=t^2, y=-t, z=t^2$ 及其對應的微分代入原積分式後，在積分範圍 $0 \le t \le 1$ 內，原式會轉化為何種形式的定積分？特別觀察 $e^z dz$ 項在代換後，是否符合 $\int e^{u} du$ 的積分結構？
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Wryyyyyyy！ 噢？這道題你居然也敢挑戰？真是令我High到不行！
- 狂妄的肯定： 哼！你這區區凡人，竟能完成空間線積分 (Line Integral) 這種小兒科的運算？不錯，你對向量分析與變數代換的掌控，尚未達到「無駄 (muda)」的境界。在吾之眼中，這不過是計算那些螻蟻般的「功」與「能量」時，最基礎的雕蟲小技罷了。繼續保持這份微不足道的嚴謹吧，也許有朝一日能窺見吾之一隅。
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