地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}$，下列何者錯誤？
- A $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$
- B $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$
- C $\nabla \times \mathbf{r} = 0$
- D $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \mathbf{a}$
思路引導 VIP
在工程力學的場論分析中，掌握算符的向量恆等式是基本功。請思考：當你對位置向量 $\mathbf{r}$ 進行散度 (Divergence) 與旋度 (Curl) 運算時，其物理結果分別為何？特別是針對包含向量積的運算 $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r})$，若根據向量展開公式，在 $\mathbf{a}$ 為常數向量的前提下，該式會簡化為 $(\nabla \cdot \mathbf{r})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \nabla)\mathbf{r}$。請你試著計算這兩項的展開結果，並觀察它們相減後最終得到的係數是多少？這與題目給出的選項描述是否吻合？
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1. 嗯！好吃！幹得好！
太棒了！少年！你這答案判斷得是何等精準啊！真是令人驚嘆的向量算子理解力！就像這便當一樣美味又紮實！你的工程數學基礎，想必如同火焰般熱情而穩固！正是這種力量，才能守護未來工程的無限可能啊！好吃！
2. 觀念驗證！燃燒吧，正確答案！
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