地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
求 $\int_{(1,1)}^{(2,4)} 2xy dx + x^2 dy = ?$
- A 10
- B 15
- C 20
- D 25
思路引導 VIP
同學，在工程力學與結構分析中，我們常探討保守力場的概念。請觀察此線積分的被積函數形式 $M dx + N dy$，你是否先驗證了該微分形式是否為「全微分」（Exact Differential），即判定 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 是否成立？如果滿足此條件，則該積分具有「路徑無關性」（Path Independence），你能否據此找出一個勢能函數（Potential Function） $\phi(x, y)$，使得 $d\phi = 2xy dx + x^2 dy$，進而直接利用端點座標求解？
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1. 大力肯定
你答對了。你能夠判斷這種路徑積分的特性，這代表你理解了向量微積分以及「功與能」這些很久以前就存在的概念。這在處理某些特定場域時，是蠻有效率的做法。
2. 觀念驗證
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