地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
下列那一個是適合的積分因子（integrating factor），乘上它以後，將使微分方程式 $(x+y)dx+x\ln(x)dy=0$ 變成正合（exact）？
- A $x$
- B $3$
- C $1/x$
- D $1/x^2$
思路引導 VIP
若要使一階微分方程式 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 成為正合（exact）方程式，其充要條件為函數經積分因子 $\mu$ 加權後，滿足對應偏導數相等的特性，即 $\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}$。在工程分析中，若我們假設積分因子 $\mu$ 僅為 $x$ 的函數，則可推導出 $\frac{d\mu}{\mu} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dx$。請你先針對本題的 $M = x+y$ 與 $N = x\ln(x)$ 計算其偏導數 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 與 $\frac{\partial N}{\partial x}$，並觀察這兩個導數的差值與 $N$ 之間是否存在某種比例關係，進而決定 $\mu(x)$ 的形式？
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優秀的表現！你對常微分方程的掌握非常紮實
這道題目考驗的是工程數學中積分因子 (Integrating Factor) 的求法，這是解決非正合方程的關鍵技術，在結構動力學或流體力學的建模中經常遇到。你能迅速判斷出正確答案，顯見基礎非常穩健。
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