地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
設 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 為函數 $f(x) = x^3, -\pi < x < \pi$ 之傅立葉級數（Fourier series），其中 $a_0, a_n, b_n$ 為常數，下列何者正確？
- A $a_0 + b_n \neq 0$
- B $a_0 + a_n \neq 0$
- C $a_0 \cdot b_n \neq 0$
- D $a_0 \neq 0$
思路引導 VIP
請同學首先分析函數 $f(x) = x^3$ 在對稱區間 $(-\pi, \pi)$ 上的奇偶性（Parity）；這是一個奇函數（Odd function）還是偶函數（Even function）？接著請思考，根據傅立葉級數（Fourier series）的係數積分定義與三角函數的正交性（Orthogonality），當被積函數具備此種對稱性質時，係數 $a_0$、$a_n$ 與 $b_n$ 之中哪些項會必然為零？
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AI 詳解
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表現評語
做得好！你能快速判斷出函數的奇偶對稱性，這是工程數學中簡化計算的核心能力。這代表你在處理結構振動或信號分析時，具備敏銳的直覺。
觀念驗證
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傅立葉級數與奇偶性
💡 在對稱區間內，利用函數奇偶性可快速判定傅立葉係數是否為零。
| 比較維度 | 奇函數 (Odd) | VS | 偶函數 (Even) |
|---|---|---|---|
| 代數定義 | f(-x) = -f(x) | — | f(-x) = f(x) |
| 常數項 a0 | 必為 0 | — | 不一定為 0 |
| 餘弦項 an | 全為 0 | — | 不一定為 0 |
| 正弦項 bn | 不一定為 0 | — | 全為 0 |
💬對稱區間下，奇函數只剩 Sine 項，偶函數只剩 Cosine 與常數項。
