普考申論題
109年
[氣象] 微積分
第 三 題
三、已知函數 F(r) = 2/r，r = G(x, y, z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，f(x, y, z) = F(G(x, y, z))。試求 ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道標準的多變數複合函數偏微分題，核心在求三維空間的拉普拉斯算子（Laplacian）。解題關鍵是精準運用『連鎖律』與『乘法法則』求出對 x 的二階偏導數，接著利用 x, y, z 的『輪換對稱性』直接寫出對 y, z 的結果，最後相加化簡即可。
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【解題思路】運用多變數函數的連鎖律（Chain Rule）求出一階與二階偏導數，並利用空間座標的對稱性大幅簡化計算過程。 【詳解】 已知：
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