第 二 題

大樣本母體比例估計。依中央極限定理，樣本比例 $\hat{P} \sim N(p, p(1-p)/n)$。題目給定 $P(|\hat{P} - p| \le 0.015) = 0.8664$。將其標準化：$P(-Z \le Z \le Z) = 0.8664$。中間面積0.8664代表單側到中心的面積是0.4332，查標準常態表對應的 Z 值為 1.5。於是 $1.5 = 0.015 / \sqrt{p(1-p)/1600}$，藉此解出二次方程式求 p。求出 p=0.2 (另一個解 0.8 依題意 p<=0.5 排除)。後半題，將 p=0.2 及新樣本數 n=2500 放入，求 $P(\hat{P} > 0.22)$，再次進行標準化查表。

這題很有鑑別度，核心概念是「逆向推導」。題目沒有直接給樣本平均數（x-bar），而是給了前一個檢定 H0: μ>=70 的 p-value=0.01。1. 這是左尾檢定，自由度 df=16-1=15，查表找到 p=0.01 對應的 t 值是 -2.602。2. 將 t = -2.602 帶回檢定公式 $t = (\bar{x} - \mu_0) / (s / \sqrt{n})$ 反推求出隱藏的 $\bar{x}$。3. 得到 $\bar{x}$ 後，再針對新的假說 H0: μ>=69 進行第二次 t 檢定，求出新的 t 值，並在 α=0.1 (左尾，臨界值查表 t_0.1(15) = -1.341) 下做出決策。

獨立雙樣本 t 檢定。題目故意用文字遊戲：「這16台儀器之壽命變異數為4」。因為A與B的平均值剛好都是10，所以將A與B合併後的總平均也是10，此時總樣本變異數（計算所有16筆資料對總平均10的離差平方和除以15）與個別群內的合併變異數（Pooled Variance, Sp^2）在數學上是相等的！所以可直接取 Sp^2 = 4。接著代入獨立樣本 t 檢定公式：$t = [(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - D_0] / \sqrt{Sp^2 (1/n_1 + 1/n_2)}$。算出 t 值後，與 α=0.01, df=n1+n2-2=14 的左尾臨界值比對。