第 一 題
一、製造商要生產4個產品：1,2,3,4。令Cj為產品j的價格，分別為C1=40, C2=60, C3=20, C4=100。這4個產品需要在4個工廠加工。令bi為工廠i可用的資源，分別為b1=30, b2=20, b3=40, b4=60。令xj為產品j所生產的數目（可為實數），製造商想最大化總價格收入。此最佳化問題的線性規劃模式如下： Max 40x1 + 60x2 + 20x3 + 100x4 s.t. x1 + x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 30 x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 2x3 + x4 ≤ 40 x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 60 令x5, x6, x7, x8為相對於限制式的鬆弛（slack）變數。加入之後的式子如下： x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 30 x1 + x2 + 2x3 + x4 + x6 = 20 x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + x7 = 40 x1 + x2 + x3 + 2x4 + x8 = 60 已知經由simplex方法解出的最佳解為 x1 = 0, x2 = 10, x3 = 0, x4 = 10
小題 (一)
思路引導 VIP
利用互補鬆弛定理（Complementary Slackness Theorem），先將最佳解代入原始限制式確認哪些資源未用盡（影子價格為0），再將最佳解大於0的決策變數對應至對偶限制式建立等式，即可解出剩餘的影子價格。
小題 (二)
思路引導 VIP
看見「資源變動對最佳解目標函數值的影響」，應立即聯想到線性規劃中的「影子價格（Shadow Price）」或「對偶變數（Dual Variable）」。此題最佳解已給定，可直接利用「互補鬆弛定理（Complementary Slackness Theorem）」求出對應的對偶變數，即可得知目標函數的增加量。
小題 (三)
思路引導 VIP
看到「加購資源的最高價格」，直覺應聯想到對偶理論（Duality Theory）中的「影子價格（Shadow Price）」。透過「互補鬆弛定理（Complementary Slackness）」，利用原始問題的最佳解找出具約束力的限制式與非零變數，即可解出對偶變數（影子價格），該值即為該資源的最大邊際價值。
小題 (四)
思路引導 VIP
求非基底變數何時進入最佳解基底，等同於進行目標函數係數的敏感度分析。透過代入已知最佳解找出基底變數，解聯立方程式求得對偶變數（影子價格），進而推導出產品3之約化成本（Reduced Cost）大於或等於零時的價格臨界值。
小題 (五)
思路引導 VIP
首先，將最佳解代入原限制式以判定哪些變數為基底變數，據此建構基底矩陣並推導出反矩陣。接著，利用對偶變數（影子價格）與縮減成本（Reduced Cost）必須滿足最佳性條件（$z_j - c_j \ge 0$），分別對非基底變數及基底變數的目標函數係數進行敏感度分析，求出其可允許範圍。
小題 (六)
思路引導 VIP
面對目標係數同時發生多個變動時，應聯想到敏感度分析（Sensitivity Analysis）。因為基底變數與非基底變數的係數都改變了，最直觀且嚴謹的做法是找出基底變數與非基底變數的關係式，代入新的目標函數中，重新求出非基底變數的檢驗數（Reduced cost），藉此判斷是否仍滿足最大化問題的最佳條件。