高考申論題
111年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
考慮一線性規劃問題，且此問題的最佳單形表（optimal simplex tableau）如下表所示，其中 x4, x5, x6 分別代表限制式 1、2、3 的鬆弛變數（slack variable）。 Maximize $Z = x_1 + 2x_2 + 2x_3$ subject to $5x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 15$ $x_1 + 4x_2 + 2x_3 \le 12$ $2x_1 + x_3 \le 8$ and $x_1, x_2, x_3 \ge 0$ 基變數 | Eq | Z | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | RHS ---|---|---|---|---|---|---|---|---|--- Z | (0) | 1 | 1.75 | 0 | 0 | 0.5 | 0.25 | 0 | 10.5 x3 | (1) | 0 | 2.25 | 0 | 1 | 0.5 | -0.25 | 0 | 4.5 x2 | (2) | 0 | -0.875 | 1 | 0 | -0.25 | 0.375 | 0 | 0.75 x6 | (3) | 0 | -0.25 | 0 | 0 | -0.5 | 0.25 | 1 | 3.5
考慮一線性規劃問題，且此問題的最佳單形表（optimal simplex tableau）如下表所示，其中 x4, x5, x6 分別代表限制式 1、2、3 的鬆弛變數（slack variable）。 Maximize $Z = x_1 + 2x_2 + 2x_3$ subject to $5x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 15$ $x_1 + 4x_2 + 2x_3 \le 12$ $2x_1 + x_3 \le 8$ and $x_1, x_2, x_3 \ge 0$ 基變數 | Eq | Z | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | RHS ---|---|---|---|---|---|---|---|---|--- Z | (0) | 1 | 1.75 | 0 | 0 | 0.5 | 0.25 | 0 | 10.5 x3 | (1) | 0 | 2.25 | 0 | 1 | 0.5 | -0.25 | 0 | 4.5 x2 | (2) | 0 | -0.875 | 1 | 0 | -0.25 | 0.375 | 0 | 0.75 x6 | (3) | 0 | -0.25 | 0 | 0 | -0.5 | 0.25 | 1 | 3.5
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
將上述問題轉換成對偶問題（dual problem）。（15 分）
思路引導 VIP
- 對偶轉換規則：原始問題 (Primal) 若為 Maximize，對偶問題 (Dual) 則為 Minimize。
- 係數對應：
小題 (二)
請由最佳單形表讀出對偶問題的最佳解（不包含剩餘變數）。（10 分）
思路引導 VIP
- 考點辨識：這是在考「強對偶性質」與「影子價格」（Shadow Price）。
- 讀取位置：在線性規劃的最佳單形表中，對偶問題的最佳解（即原始問題限制式的影子價格）隱藏在 $Z$-row (Eq 0) 中，對應於原始問題「鬆弛變數」（Slack variables）的係數位置。