高考申論題
109年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
四、製造商只生產單一產品且採用訂單式生產方式：收到顧客訂單（顧客下單）才開始生產。每個訂單只要求1單位產品，訂單到達時間間隔呈現指數分配，平均到達時間間隔為2.5天，且到達時間間隔互相獨立。製造商工作機台以訂單先到先服務的方式生產產品，工作機台每次生產1單位產品，生產1單位的時間為指數分布且相互獨立，平均5天可生產6單位產品。製造商現在只有1台工作機台。（每小題5分，共20分）
四、製造商只生產單一產品且採用訂單式生產方式：收到顧客訂單（顧客下單）才開始生產。每個訂單只要求1單位產品，訂單到達時間間隔呈現指數分配，平均到達時間間隔為2.5天，且到達時間間隔互相獨立。製造商工作機台以訂單先到先服務的方式生產產品，工作機台每次生產1單位產品，生產1單位的時間為指數分布且相互獨立，平均5天可生產6單位產品。製造商現在只有1台工作機台。（每小題5分，共20分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
客戶所關心的是從訂單下單到拿到貨的時間間隔，稱之為回應時間。請問有多少比例的客戶回應時間在2天內？
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首先根據到達間隔與服務時間的分配特性確認為 M/M/1 模型，並求出單位時間的到達率（λ）與服務率（μ）。接著，認知到「回應時間」即為顧客在系統中的總逗留時間（W），利用 M/M/1 模型中系統逗留時間服從參數為 (μ-λ) 的指數分配之特性，代入累積機率函數 P(W ≤ t) = 1 - exp(-(μ-λ)t) 即可求解。
小題 (二)
客戶所關心的是從訂單下單到工作機台開始生產該產品的時間間隔，請問有多少比例的客戶訂單在下單之後1天內可開始生產？
思路引導 VIP
辨識此為 M/M/1 等候模型，先計算到達率 λ 與服務率 μ 並求出系統使用率 ρ。題目詢問「從下單到開始生產」的時間，即求等候線中的等待時間 W_q ≤ 1 的機率，代入 M/M/1 的等待時間機率分布公式 P(W_q ≤ t) = 1 - ρ e^{-μ(1-ρ)t} 即可得解。
小題 (三)
如果要滿足客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產的比例要至少99%，製造商先嘗試加1台工作機台，訂單仍是先（下單）到先服務的方式由空閒的機台生產產品。請問在此系統，有多少比例，訂單下單後不能馬上生產而要等候空閒的機台？
思路引導 VIP
本題測驗多機台等候理論（M/M/s模型）的基礎計算。首先需將平均時間轉換為到達率（$\lambda$）與服務率（$\mu$），確認 s=2 後，計算系統閒置機率 P_0。題目所求『不能馬上生產而要等候』的比例，即為系統內顧客數大於等於機台數（n \ge 2）的機率。
小題 (四)
接續(三)，請問增加1台工作機台後有多少比例客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產？
思路引導 VIP
本題測驗 M/M/s 等候模型的佇列等候時間機率分配。關鍵在於確認「下單後開始生產」代表求佇列等候時間（W_q），先求出系統閒置機率 P_0 及必須等候的機率 P(W_q > 0)，再代入等候時間大於 t 的指數衰減公式，利用 P(W_q ≤ 1) = 1 - P(W_q > 1) 求解即可。