高考申論題
109年
[教育行政] 教育測驗與統計
第 二 題
📖 題組：
有一研究員擬隨機抽取三所學校樣本，進行「數學科成就測驗」的施測及成績優劣的評比。他預定 A 校抽取 20 名學生、B 校抽取 30 名學生、C 校抽取 10 名學生。經該數學科成就測驗的測試結果，該研究員計算出各校的成績如下：A 校平均 60 分、標準差 6 分；B 校平均 50 分、標準差 5 分；C 校平均 90 分、標準差 9 分。請問：
有一研究員擬隨機抽取三所學校樣本，進行「數學科成就測驗」的施測及成績優劣的評比。他預定 A 校抽取 20 名學生、B 校抽取 30 名學生、C 校抽取 10 名學生。經該數學科成就測驗的測試結果，該研究員計算出各校的成績如下：A 校平均 60 分、標準差 6 分；B 校平均 50 分、標準差 5 分；C 校平均 90 分、標準差 9 分。請問：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
相較而論，那一所學校學生成績的個別差異較為嚴重？（15 分）請寫出計算過程並說明你的決定。
思路引導 VIP
這是一個陷阱題。很多考生會直接看標準差（6, 5, 9），認為 C 校 9 分最大所以差異最嚴重。但在「平均數不同」的群體間比較離散程度，必須使用「變異係數」（Coefficient of Variation, CV），這是一種相對離散指標，將標準差標準化。計算方式為標準差除以平均數。
小題 (一)
全體樣本（共 60 名學生）的平均成績與變異數為何？（10 分）
思路引導 VIP
本題考查「加權平均數」與「總變異數（或稱混合變異數）」的計算。1. 總平均數：不能將三校平均直接相加除以三，必須考慮各校人數（加權）。公式為各組總分相加除以總人數。2. 總變異數：這點較難，需用到變異數分解的概念。總變異（Total SS）= 組內變異（SS within）+ 組間變異（SS between）。總變異數 = 總變異 / (N-1)。