高考申論題
109年
[教育行政] 教育測驗與統計
第 五 題
📖 題組：
某位統計學家根據 81 名抽樣學生的努力程度（X，單位：小時）與學業成績（Y，單位：分）兩個變項分數，建立起一條迴歸方程式及其估計參數如下所示： Ŷ = 62.75 + 0.8 * X，R² = .81，型一誤差 α = .05 其中，方程式的截距項估計值（I 值）為 62.75，斜率項估計值（B 值）為 0.8，其估計標準誤 SE(B) 為 0.125，整條方程式的決定係數為 R² = .81。請問：（每小題 5 分，共 25 分）
某位統計學家根據 81 名抽樣學生的努力程度（X，單位：小時）與學業成績（Y，單位：分）兩個變項分數，建立起一條迴歸方程式及其估計參數如下所示： Ŷ = 62.75 + 0.8 * X，R² = .81，型一誤差 α = .05 其中，方程式的截距項估計值（I 值）為 62.75，斜率項估計值（B 值）為 0.8，其估計標準誤 SE(B) 為 0.125，整條方程式的決定係數為 R² = .81。請問：（每小題 5 分，共 25 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (五)
若該統計學家想改以學業成績（Y）來預測努力程度（X）的話，則該預測結果的標準化迴歸方程式應該如何表達？
思路引導 VIP
這是易錯點。換成 Y 預測 X，標準化斜率依然是 X 與 Y 的相關係數 r（因為相關係數具備對稱性）。
小題 (一)
經檢定結果，該迴歸係數是否已達顯著（α = .05 時，查表臨界點 t = ±2）？
思路引導 VIP
檢定迴歸係數（斜率 B）是否顯著，需計算 t 值。t 值的公式是「係數值 / 標準誤」。計算後與臨界值 ±2 比較即可。
小題 (二)
努力程度（X）與學業成績（Y）兩個變項之間的相關係數是多少？
思路引導 VIP
在簡單線性迴歸中，相關係數 r 等於決定係數 $R^2$ 的平方根。注意正負號需與斜率 B 的正負號一致。
小題 (三)
若某考生的努力程度為 10 小時，則預測該考生的學業成績為幾分？
思路引導 VIP
直接將 X = 10 代入題目給予的迴歸方程式進行預測（點預測）。
小題 (四)
若將上述的 X 與 Y 兩變項均標準化後，再求其迴歸方程式，則方程式該如何表達？
思路引導 VIP
當變項標準化後（Z 分數），截距項必為 0，且標準化斜率（Beta）在簡單線性迴歸中就等於相關係數 r。