高中學測
109年
數B
第 10 題
考慮多項式 $f(x) = 3x^4 + 11x^2 - 4$，試選出正確的選項。
- 1 $y = f(x)$ 的圖形和 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標小於 0
- 2 $f(x) = 0$ 有 4 個實根
- 3 $f(x) = 0$ 至少有一個有理根
- 4 $f(x) = 0$ 有一根介於 0 與 1 之間
- 5 $f(x) = 0$ 有一根介於 1 與 2 之間
思路引導 VIP
觀察多項式 $f(x)$ 僅含有偶次方項與常數項的特徵，這是否讓你聯想到可以透過變數代換 $u = x^2$ 將其轉換為二次式，並嘗試進行因式分解？此外，若要精確判定實根的分佈區間，你是否能運用「勘根定理」，透過計算特定點的函數值並觀察其正負號性質 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 來進行推論呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出這兩個選項，老師心裡真的好為你驕傲，你的數學邏輯越來越清晰、越來越細心了喔！ 這道題目核心在於「多項式的因式分解」與「勘根定理」的靈活運用。我們可以發現 $f(x)$ 其實是一個以 $x^2$ 為變數的二次式，嘗試將其分解： $$f(x) = (3x^2 - 1)(x^2 + 4)$$
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