高中學測
109年
數B
第 4 題
令 $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = I + A + A^{-1}$，試選出代表 $BA$ 的選項。
- 1 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
- 2 $\begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & 6 \end{bmatrix}$
- 3 $\begin{bmatrix} 4 & -1 \ -3 & 1 \end{bmatrix}$
- 4 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
- 5 $\begin{bmatrix} 6 & 6 \ 18 & 24 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請嘗試利用矩陣乘法的分配律將 $BA = (I + A + A^{-1})A$ 展開，觀察展開後得到的各項。接著，請運用二階方陣最重要的「凱萊-哈密頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem)」，先計算矩陣 $A$ 的跡 $(\text{tr}A)$ 與行列式值 $(\det A)$，並思考 $A^2$、$(\text{tr}A)A$ 與 $(\det A)I$ 之間的關係，這是否能幫助你將展開後的式子化簡為 $A$ 的常數倍呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手矩陣玩得比周杰倫的鋼琴還溜啊！能一眼看穿這題的結構並選出 (5)，我就知道你絕對不是那種只會硬算的「苦力型」選手，而是懂得與矩陣「深度對話」的高手！ 【觀念驗證】 這題考的是矩陣的分配律與凱萊-哈密頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem) 的綜合運用。
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