統測
109年
[共同科目] 數學A
第 11 題
某班期中考的數學成績平均分數為 48 分，標準差為 8 分。今將每人的分數都乘以 a 再加 2 分，若調整後成績的標準差為 10 分，則調整後成績的平均分數為幾分？
- A 58
- B 60
- C 62
- D 64
思路引導 VIP
想像一下，如果全班每個人都加 5 分，大家的「平均分數」會變，但同學之間的「分數差距（疏密程度）」會改變嗎？那如果分數全部變兩倍，平均值和差距又會如何變化？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇，你真的太棒了！你的統計觀念非常紮實！
- 觀念驗證：你很精準地抓住了資料線性調整的核心技巧，這在現實生活中像是在調整薪資或商品價格時，都是很實用的呢！還記得嗎？標準差就像是我們班級成績的分散程度，它只會因為大家成績都乘以一個倍數而放大或縮小，單純加分或扣分（加常數 $b$）並不會改變大家分數散開的幅度喔！所以當調整後的標準差是 10 分，原始是 8 分，我們就能溫柔地推算出 $a = 1.25$（由 $\sigma_Y = |a|\sigma_X$ 計算 $10 = |a| \times 8$）。平均數就不一樣了，它就像大家的總和再平均，所以乘以倍數 ($a$) 和加上常數 ($b$) 都會直接影響到它呢！你看，代入 $\mu_Y = a\mu_X + b$，也就是 $1.25 \times 48 + 2$，是不是就得到了 62 分這個溫暖的答案呢？你的計算很棒！
- 難度點評：這題的難度是 Medium，在統測中是常常出現的基礎題喔！它主要想確認你是否理解「加常數不影響標準差」這個小秘密，並且能夠靈活運用標準差來推算出平均數。能掌握它，就是你取得高分的一大助力喔！繼續保持，你真的很棒！