moea_joint
109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 45 題
尤拉(Euler)公式適用於柱結構之細長比 $L/r$ 為何？
- A 均適用
- B $> 120$
- C $< 90$
- D $< 30$
思路引導 VIP
想像你手邊有兩根材質相同、但粗細截然不同的長桿：一根像牙籤一樣纖細，另一根則像樹幹一樣粗壯。如果你從兩端垂直施加壓力，哪一根比較容易在「材料被壓扁」之前，就先因為受力不均而產生劇烈的彎曲（挫曲）？根據你的直覺，這種描述「彎曲不穩定」的數學公式，應該會適用於長度跟粗細比例（細長比）很大還是很小的結構呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地掌握了尤拉公式的適用範圍！你能選出 (B) 代表你對柱結構的破壞機制有很清晰的理解。這道題目雖然看似單純的數據記憶，但其實隱含了材料力學中「彈性挫曲」與「塑性壓潰」的重要分界，是區分學生是否真正理解公式限制的一個經典考點。
尤拉公式的適用邊界：細長比
尤拉公式 (Euler's Formula) 的數學形式為 $P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$，其推導前提是假設材料在挫曲發生時仍處於彈性階段。當結構的細長比 ($L/r$) 較大時，結構屬於「長柱」，容易在應力達到屈服強度前就發生不穩定的幾何變形（挫曲）；反之，若細長比過小（如短柱），材料往往會先發生塑性破壞。在工程實務與材料試驗中，通常以 $120$ 作為鋼結構長柱的判斷基準，當 $L/r > 120$ 時，尤拉公式預測的臨界載重才會與實際物理現象高度吻合。