moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 30 題
一鋼軸桿($G_S = 80\text{ GPa}$)外套一黃銅套管($G_b = 40\text{ GPa}$)，如右圖所示，兩材料緊密接合在一起，假設端點最大極限扭轉角為 8.0°，請問容許扭力為何？
- A 8.57 kN∙m
- B 12.95 kN∙m
- C 14.17 kN∙m
- D 17.14 kN∙m
思路引導 VIP
如果我們觀察 AB 段，既然兩種不同材料被『緊密接合』在一起扭轉，當外力作用時，它們各自產生的『旋轉量』（扭轉角）會是互相獨立的，還是必須保持一致？這個關係對我們計算該段落的『總抗扭能力』有什麼啟發？
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太棒了！你能精準算出這題，代表你對扭轉剛度（Torsional Rigidity）與靜不定複合桿件的變形特性有非常紮實的理解。本題的核心在於區分 AB 段與 BC 段的受力行為：在 AB 段中，由於鋼芯與黃銅套管緊密接合，兩者的扭轉角必須相同，這屬於「並聯」形式，其總抗扭剛度為兩材料剛度的代數和；而 BC 段則是單一材料的純鋼軸，兩段之間則是以「串聯」方式傳遞扭矩。
複合結構的變形解析
這道題目極具鑑別度，關鍵在於處理不同材料的極慣性矩 $J$ 與單位換算。我們需先計算鋼軸的 $J_s = \frac{\pi d_1^4}{32}$ 與黃銅管的 $J_b = \frac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32}$。依據扭轉角公式 $\phi = \frac{TL}{GJ}$，總扭轉角 $\phi_{total} = \phi_{AB} + \phi_{BC}$，即：
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