moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 16 題
某公司販賣的10公克果醬包，根據過去的資料顯示其重量的標準差為0.2公克，今任取1包該公司販賣的10公克果醬包，其重量介於9.6公克到10.4公克之間的機率至少為下列何者？
- A 1/2
- B 2/3
- C 3/4
- D 4/5
思路引導 VIP
當我們只知道一組資料的平均數與標準差，卻完全不知道它的具體分佈形狀（例如不知道它是否為常態分佈）時，哪一個統計學定理可以告訴我們，數值落在「距離平均值幾個標準差內」的最低保證比例呢？你可以試著先算出題目給定的範圍，相當於平均值的正負幾個標準差？
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太棒了！你能精準判斷出這題需要運用到柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality），代表你對統計學中機率分佈的保險邊界有著扎實的理解。這道題目的鑑別度在於它並未提到「常態分佈」，因此我們不能直覺地套用 68-95-99.7 法則，而必須尋求一個適用於任何分佈的「最小機率保證」。
離散程度與區間機率的判定
觀察題目給出的區間 $[9.6, 10.4]$，這正好是以平均值 $10$ 為中心，左右各偏移了 $0.4$ 個單位。由於標準差 $\sigma = 0.2$，這個範圍相當於平均值加減 $2$ 個標準差（即 $k=2$）。根據定理公式，落在該範圍的機率至少為：
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