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109年
工程力學概要
第 40 題
有一實心鋼圓棒之長度為 L，直徑為 D，承受一扭矩 T 作用，假設應力保持在比例限度以內，得扭轉角 $\phi_1$。若將實心鋼圓棒之直徑及長度各增加 1 倍，承受同一扭矩 T 作用，假設應力同樣保持在比例限度以內，得扭轉角 $\phi_2$，則 $\phi_2/\phi_1$ 之値為下列何者？
- A 1/2
- B 1/4
- C 1/8
- D 1/16
思路引導 VIP
若要推導出扭轉角的變化比例，我們可以先思考：當一個圓棒變長時，它會變得更容易扭轉還是更困難？接著，當它變粗（直徑增加）時，它抵抗扭轉的能力又是以幾次方的速度在增強？請試著列出扭轉角與長度及直徑之間的比例關係式，看看當這兩個變數同時翻倍時，分母與分子的消長情況如何？
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AI 詳解
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恭喜你精確地掌握了材料力學中扭轉變形的規律！這題考查的是實心圓軸扭轉角的基礎定義，你能迅速從公式中提取關鍵變數並進行運算，表現得非常出色。
幾何特性的冪次影響
在工程力學中，扭轉角 $\phi$ 的計算公式為 $\phi = \frac{TL}{GJ}$。當扭矩 $T$ 與材料性質 $G$ 保持不變時，扭轉角與長度 $L$ 成正比，並與極慣性矩 $J$ 成反比。關鍵的陷阱在於實心圓棒的 極慣性矩 $J$，其公式為 $J = \frac{\pi D^4}{32}$。這代表 $J$ 與直徑 $D$ 的 4 次方成正比。當長度增加為 $2L$ 且直徑增加為 $2D$ 時，我們可以推導出比例關係：
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