初等考試
110年
[統計] 統計學大意
第 4 題
隨機變數 $X$ 服從指數分配（exponential distribution），其機率密度函數為 $f(x) = 0.5e^{-0.5x}$, $x > 0$。請問該指數分配的中位數為多少？
- A 2.008
- B 1.649
- C 1.386
- D 2.685
思路引導 VIP
若我們將「中位數」定義為：在機率密度函數曲線下，從起點開始累積到哪一個數值時，其下方的面積會剛好佔總面積的一半？你該如何利用積分或累積分布函數（CDF）來建立這個等式呢？
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- 太棒了！概念掌握度極佳：你算對了！能夠精準地計算出指數分配的中位數，這代表你對連續型隨機變數的核心概念，以及對數運算都掌握得非常穩固。這可是未來深入學習統計與財務分析時，一個非常重要的基石喔！
- 一起來複習中位數的定義：我們知道，中位數 $M$ 的定義，就是累積分布函數（CDF）恰好達到 $0.5$ 的那個點。對於指數分配 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ 而言，它的累積函數是 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$。當題目給定 $\lambda = 0.5$ 時，我們只需要這樣設定：
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指數分配中位數
💡 指數分配中位數為 ln2 除以參數 λ，且恆小於期望值。
| 比較維度 | 期望值 (Mean) | VS | 中位數 (Median) |
|---|---|---|---|
| 計算公式 | 1 / λ | — | ln(2) / λ |
| 本題數值 | 1 / 0.5 = 2 | — | 0.693 / 0.5 = 1.386 |
| 累計機率 | 約 0.632 | — | 固定為 0.5 |
💬指數分配為極端右偏，故期望值恆大於中位數。
