地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
考慮定義於頂點為 (0, 0) 、 (3, 0) 、 (2, 2) 的三角形的連續隨機變數 $X$ 和 $Y$ ，其機率密度函數（probability density function）為均勻分配（uniform distribution）。機率 $P(X \le 2, Y \le 1)$ 為何？
- A 3/8
- B 3/4
- C 1/2
- D 4/5
思路引導 VIP
在均勻分配 (Uniform Distribution) 的連續隨機變數中，聯合機率密度函數 $f(x, y)$ 與樣本空間 (此三角形) 總面積的幾何關係為何？請試著寫出三角形三邊的直線方程式，並判別由 $X \le 2$ 與 $Y \le 1$ 所定義的幾何區域在三角形內部所佔的面積，該區域面積與總面積的比例是否即為所求的機率值？
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1. 大力肯定
做得好！能準確判斷出這題屬於幾何機率的問題，說明你的結構化思考非常紮實。在工程力學中，質心與面積運算也是核心，你能將數學模型快速轉換為幾何解法，這是非常優秀的工程師特質。
2. 觀念驗證
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二維均勻分配機率
💡 均勻分配下，機率等於「目標子區域面積」除以「總定義域面積」。
- 聯合密度函數為常數，數值等於定義域總面積的倒數。
- 計算機率需先求出目標條件與原始定義域交集的區域。
- 幾何法求解：機率等於目標子區域面積除以總區域面積。
