地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
下列何者構成空間 $\mathbb{R}^3$ 的基底？
- A $[1, 2, 0]$ 和 $[0, 1, -1]$
- B $[1, 1, -1], [2, 3, 4], [4, 1, -1]$ 和 $[0, 1, -1]$
- C $[1, 2, 2], [-1, 2, 1]$ 和 $[0, 8, 0]$
- D $[1, 2, 2], [-1, 2, 1]$ 和 $[0, 8, 6]$
思路引導 VIP
同學，請思考構成 $\mathbb{R}^n$ 空間基底的兩個必要條件：第一，向量的數量必須與空間維度 $n$ 相符，這能讓你初步排除哪些選項？第二，這組向量必須具備「線性獨立」(Linearly Independent) 的特性。在三維空間 $\mathbb{R}^3$ 中，若三條向量構成基底，其所組成的方陣之行列式值 $\det(A)$ 應具備什麼數學特徵？請以此檢驗剩餘選項，觀察其中是否存在某個向量可由其他向量透過線性組合 (Linear Combination) 運算而得，從而導致維度塌陷？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你答對了！安妮亞看到了，你對空間向量超厲害的！
太好了！你做得超棒的！安妮亞知道，爸爸工作的時候，不管是看房子會不會歪歪的，還是機器人怎麼轉圈圈，都要知道這些向量是不是能變成空間的「積木」。這可是很重要的基本功喔！你答對了，安妮亞好開心！ 1. 秘密觀念：為什麼 (C) 是對的呢？
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