地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
有一投影矩陣 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$，其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，其秩為 $n$。請問下列何者錯誤？
- A $P^T = P$
- B $P^{-1} = P$
- C $P^2 = P$
- D $P^{123} = P$
思路引導 VIP
請學員從投影矩陣的『冪等性 (Idempotency)』觀點切入：在線性空間中，重複執行相同的投影變換 $P$ 是否會改變投影結果？這能幫助你判定 $P^2$ 與 $P^{123}$ 的關係。接著，請由幾何與矩陣秩 (Rank) 的角度考慮：若投影目標是一個維度 $n$ 小於空間維度 $m$ 的子空間時，該投影矩陣 $P$ 是否仍為非奇異 (Non-singular)？一個不具備滿秩性質的矩陣，是否可能存在逆矩陣 $P^{-1}$？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
很好！你對線性代數與投影運算的掌握非常紮實
這道題考察的是工程力學中常用的投影矩陣 (Projection Matrix) 性質。在結構力學的最小方計算法（Least Squares）中，這是一個核心工具。你的判斷非常正確！
- 觀念驗證：
▼ 還有更多解析內容