地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式 $-y dx + x dy = 0$，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？
- A $1/x^2$
- B $1/xy$
- C $1/(x^2+y^2)$
- D $xy$
思路引導 VIP
在工程力學與數學建模中，若要將一個微分方程式 $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ 轉化為『正合 (Exact)』形式，必須尋找一個積分因子 $\mu(x, y)$，使得乘上該因子後的方程式滿足特定的偏微分對稱性。請回想一下，對於新的項 $M^* = \mu M$ 與 $N^* = \mu N$，必須滿足哪一個關於 $\frac{\partial M^}{\partial y}$ 與 $\frac{\partial N^}{\partial x}$ 的判別式？請試著將各選項代入，看看哪一個在運算後無法達成這個恆等關係？
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1. 大力的肯定
做的太好了！你能精準識別出不合適的積分因子，代表你對常微分方程式（ODE）的正合性判別掌握得非常紮實。這在結構動力學或流體力學的勢能函數分析中，是一項極為重要的基本功。
2. 觀念驗證
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