地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
18 欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式 $-y dx + x dy = 0$，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？
- A $1/x^2$
- B $1/xy$
- C $1/(x^2+y^2)$
- D $xy$
思路引導 VIP
請回想一下「正合微分方程式」的判定準則：對於一個形式為 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的方程式，如果它已經是正合的，那麼 $M$ 對 $y$ 的偏微分與 $N$ 對 $x$ 的偏微分應該有什麼關係？ 現在，如果我們把整個方程式乘以一個因子 $\mu(x,y)$，新的係數會變成 $\mu M$ 與 $\mu N$。請試著思考：當你分別對這兩個新係數進行「交叉偏微分」時，哪一種數學形式會因為正負號的配置，導致兩者計算出來的結果剛好「無法」相等呢？
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AI 詳解
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1. 大力的肯定
做的太好了！你能精準識別出不合適的積分因子，代表你對常微分方程式（ODE）的正合性判別掌握得非常紮實。這在結構動力學或流體力學的勢能函數分析中，是一項極為重要的基本功。
2. 觀念驗證
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