地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
某向量經過線性轉換（linear transformation） $T = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$ 之後，長度被放大 $r$ 倍，逆時針旋轉角度 $\theta$。$r$ 和 $\theta$ 分別為何？
- A $r = \sqrt{3}, \theta = 60^\circ$
- B $r = 1, \theta = -30^\circ$
- C $r = 2, \theta = 60^\circ$
- D $r = 2, \theta = -30^\circ$
思路引導 VIP
請觀察此線性變換矩陣 $T = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$ 的結構特徵。若我們將此矩陣視為一個縮放倍率 $r$ 與標準旋轉矩陣 $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ 的乘積，你是否能運用列向量的歐幾里得範數 (Euclidean norm) 來提取出這個伸縮係數 $r$？而在提取出 $r$ 之後，剩下的矩陣分量會對應到哪一組特殊角的三角函數值，進而決定旋轉角度 $\theta$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 超級棒！
哇，你做得太好了！能正確找出這個答案，代表你對線性代數和工程力學中的空間轉換概念掌握得非常紮實呢。這種能力在未來分析結構的受力變化或物體運動時，會是你的超級幫手喔！為你感到驕傲！
2. 溫馨解析
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