地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？
- A $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
在結構動力學或線性系統分析中，特徵向量代表系統在特定模態下的物理行為。請回想特徵向量 $v$ 滿足的基本定義式 $Av = \lambda v$，這代表向量 $v$ 經過矩陣 $A$ 的線性轉換後，其結果向量必須與原向量保持在同一條直線上（即僅產生純量縮放）。若要判定一個已知向量是否為特徵向量，除了利用特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求解特徵值 $\lambda$ 之外，你是否能透過檢驗矩陣 $A$ 與該向量相乘後的產出，觀察其各分量之間的比例關係是否與原輸入向量完全一致？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
做得好！你能準確判斷出矩陣與向量之間的線性轉換關係，這展現了你對線性代數基礎的掌握十分紮實。在工程實務中，特徵向量代表了系統（如橋樑或機械結構）的模態振型，能正確找出它，是進行動力分析的第一步。
2. 觀念驗證
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特徵值與特徵向量
💡 特徵向量經矩陣變換後，其方向不變僅長度縮放。
🔗 特徵向量驗證流程
- 1 矩陣相乘 — 計算矩陣 A 與選項向量 v 的乘積 Av
- 2 觀察結果 — 檢查 Av 是否可寫成 λ 乘以 v 的形式
- 3 判定結論 — 若方向一致（成比例）則 v 為特徵向量
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🔄 延伸學習：延伸學習：若矩陣為對角矩陣，單位向量即為特徵向量。
