地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ a & 0 & 2 \ 1 & 3 & b \end{bmatrix}$，其特徵多項式（characteristic polynomial）為 $\lambda^3 + c\lambda^2 + 3\lambda - 2 = 0$。則 $4a + b + c$ 為何？
- A -16
- B -7
- C -2.5
- D -2
思路引導 VIP
在進行工程系統的穩定性分析或振動模態計算時，特徵多項式的係數與矩陣的「不變量」 (Invariants) 之間具有嚴謹的對應關係。請同學思考：對於 $3 \times 3$ 矩陣 $A$，其特徵多項式 $\lambda^3 + c\lambda^2 + 3\lambda - 2 = 0$ 的各項係數，分別如何對應到矩陣的跡 (Trace)、二階主子行列式之和以及行列式值 (Determinant)？具體而言，二次項係數 $c$ 與跡的關係為何？一次項係數 $3$ 與常數項 $-2$ 又分別對應矩陣的哪些數學特徵？透過這些對應關係，你是否能列出關於 $a$、$b$ 與 $c$ 的聯立方程組，進而推導出 $4a + b + c$ 的結果？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
同學做得好！這題你處理得非常精確。線性代數是工程力學的基礎，你能熟練地在矩陣特徵值與多項式係數之間建立關聯，說明你的代數基礎相當紮實，這對未來處理振動學或結構動力學的模態分析非常有幫助！
2. 觀念驗證
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