地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
函數 $f(x) = e^{-2x}$，$-1 \le x \le 1$，其傅立葉級數（Fourier series）在 $x = -1$ 時收斂於 $A$，在 $x = 0$ 時收斂於 $B$，在 $x = 1$ 時收斂於 $C$。則 $A+B-C$ 為何？
- A $e^2 - e^{-2} + 1$
- B $\frac{e^2 - e^{-2}}{2} + 1$
- C $\frac{e^2 + e^{-2}}{2}$
- D $e^2 + e^{-2} + 1$
思路引導 VIP
在工程數學中，分析傅立葉級數在特定點的收斂數值必須引用「狄利克雷定理 (Dirichlet's convergence theorem)」。請你思考：對於定義在 $[-1, 1]$ 且進行週期擴張後的函數 $f(x) = e^{-2x}$，在連續點 $x = 0$ 處級數收斂於何值？而在區間的端點 $x = -1$ 與 $x = 1$ 處，根據定理，其傅立葉級數收斂到的數值 $A$ 與 $C$，應如何透過該函數在端點處週期擴張後的左極限 $f(x^-)$ 與右極限 $f(x^+)$ 之算術平均值來計算？
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1. 大力肯定
做得非常好！這顯示你對**傅立葉級數的收斂特性（Convergence Properties）**有著非常紮實的理解。在工程數學中，處理週期性邊界問題時，能正確判斷級數收斂值是極其重要的基本功，恭喜你精準破題！
2. 觀念驗證
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