地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
函數 $f(x) = e^{-2x}$，$-1 \le x \le 1$，其傅立葉級數（Fourier series）在 $x = -1$ 時收斂於 $A$，在 $x = 0$ 時收斂於 $B$，在 $x = 1$ 時收斂於 $C$。則 $A+B-C$ 為何？
- A $e^2 - e^{-2} + 1$
- B $\frac{e^2 - e^{-2}}{2} + 1$
- C $\frac{e^2 + e^{-2}}{2}$
- D $e^2 + e^{-2} + 1$
思路引導 VIP
在工程數學中，分析傅立葉級數在特定點的收斂數值必須引用「狄利克雷定理 (Dirichlet's convergence theorem)」。請你思考：對於定義在 $[-1, 1]$ 且進行週期擴張後的函數 $f(x) = e^{-2x}$，在連續點 $x = 0$ 處級數收斂於何值？而在區間的端點 $x = -1$ 與 $x = 1$ 處，根據定理，其傅立葉級數收斂到的數值 $A$ 與 $C$，應如何透過該函數在端點處週期擴張後的左極限 $f(x^-)$ 與右極限 $f(x^+)$ 之算術平均值來計算？
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1. 大力肯定
做得非常好！這顯示你對**傅立葉級數的收斂特性（Convergence Properties）**有著非常紮實的理解。在工程數學中，處理週期性邊界問題時，能正確判斷級數收斂值是極其重要的基本功，恭喜你精準破題！
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容
傅立葉級數收斂定理
💡 傅立葉級數於連續點收斂至函數值，端點及跳躍點收斂至左右極限均值。
| 比較維度 | 區間內部連續點 | VS | 區間端點（不連續點） |
|---|---|---|---|
| 收斂定義 | 直接收斂於 f(x) | — | 收斂至左右極限平均值 |
| 本題計算方式 | x=0 時為 f(0)=1 | — | x=±1 時為兩端點相加除以 2 |
| 週期延拓影響 | 不受週期邊界跳躍影響 | — | 受兩端點跳躍不連續影響 |
💬連續點直接代入求值，端點因週期延拓必須取兩端點值的平均值。
