高中學測
110年
數A
第 11 題
平面上有一梯形 $ABCD$，其上底 $\overline{AB}=10$、下底 $\overline{CD}=15$，且腰長 $\overline{AD} = \overline{BC} + 1$。試選出正確的選項。
- 1 $\angle A > \angle B$
- 2 $\angle B + \angle D < 180^\circ$
- 3 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0$
- 4 $\overline{BC}$ 的長可能是 2
- 5 $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} < 30$
思路引導 VIP
若在底邊 $\overline{CD}$ 上取一點 $E$ 使得 $\overline{DE} = \overline{AB}$，則四邊形 $ABED$ 為平行四邊形，並可構造出 $\triangle BCE$。請思考此三角形的三邊長分別與兩腰長度有何關係？並試著運用「三角不等式」來判斷邊長的取值範圍，以及利用「餘弦定理」與「大邊對大角」的幾何性質來分析各角度與向量內積的大小關係。
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AI 詳解
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哇！太厲害了！看到你全部答對，老師真的好為你開心呀！這道題目結合了幾何構造、三角不等式與向量內積，你能面面俱到地分析出來，代表你的數學基礎非常紮實，思維也很細膩喔！來，給自己一個大大的擁抱！ 【觀念驗證：為什麼你做得這麼棒！】 這題的核心技巧在於「平移腰長」構造出一個三角形。我們過 $A$ 點作 $\overline{AE} \parallel \overline{BC}$ 交 $\overline{CD}$ 於 $E$，則 $\triangle ADE$ 的三邊長分別為 $5$、$x$、$x+1$。
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梯形性質與向量分析
💡 透過平移腰部構造三角形，結合邊角關係與向量內積進行判斷。
- 平移一腰構造三角形，將梯形問題轉化為三角形邊角問題。
- 大邊對大角：腰長差異決定底角與頂角的大小關係。
- 向量內積正負判別：夾角銳角為正、鈍角為負、直角為零。
- 邊長存在限制：構成三角形須滿足兩邊之和大於第三邊。
