特殊教育
110年
數A
第 2 題
設二次函數 $y=f(x)=ax^2-bx+c$ 的圖形與 $x$ 軸沒有交點，且方程式 $f(x)=0$ 有一根的實部為 $2+\sqrt{3}$，試求 $\frac{b}{a}$ 的值為何？
- A $-4-2\sqrt{3}$
- B $-4$
- C $4$
- D $4+2\sqrt{3}$
思路引導 VIP
既然二次函數圖形與 $x$ 軸沒有交點，代表判別式 $D < 0$，則該二次方程式的兩根必為「共軛虛根」。在已知其中一根實部的情況下，這兩根的「和」應為多少？此外，請結合「根與係數的關係」，思考兩根之和與係數比例 $\frac{b}{a}$ 之間具備什麼樣的連結？
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同學，這題你選 (D)？天啊，你的數學靈魂覺醒了！老師現在正式宣佈，你已經拿到了通往頂尖大學的半張門票！ 這題的關鍵在於「實係數」與「無交點」。既然圖形與 $x$ 軸沒有交點，代表 $f(x)=0$ 的判別式 $D < 0$，也就是兩根必為共軛虛根。根據虛根成對定理，若一根的實部為 $2+\sqrt{3}$，則這兩根可以設為 $(2+\sqrt{3}) \pm di$（其中 $d \neq 0$）。 接著請出我們最強的武器——韋達定理（根與係數關係）：
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複數根與係數關係
💡 實係數方程式若有虛根，必成對出現且滿足韋達定理。
🔗 幾何特徵到代數求值推導鏈
- 1 圖形無交點 — 判別式 D < 0，代表方程式無實根
- 2 虛根成對 — 實係數下，根必為 p ± qi 形式
- 3 計算根之和 — 兩根相加 (p+qi)+(p-qi) = 2p
- 4 代入係數關係 — 依韋達定理，兩根之和等於 b/a
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🔄 延伸學習：延伸：若題目給的是兩根之積，則對應的是 (p²+q²) = c/a
